Question

【题目】已知直线l： （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（1）若点M的直角坐标为（2， ），直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值；
（2）设曲线C经过伸缩变换 得到曲线C′，求曲线C′的内接矩形周长的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的极坐标方程为ρ=2，则曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=4，

直线l： ，转化成普通方程为：y﹣ x+ =0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2=4，

整理得：t2+5t+3=0，

∴t1+t2=﹣5，t1t2=3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = ，

（2）解： 代入曲线C的方程得： ，

设曲线C′的内接矩形周长为P，曲线C′的内接矩形的第一象限内的顶点为N（x′，y′）（0＜x＜2 ，0＜y＜2），

x′2+3y′2=3，x′= ，

P=4x′+4y′=4 ，+4y′，

令f（y）=4 ，+4y′，

f′（y）= +4，

令f′（y′）=0得y=1，

当0＜y′＜1时，f′（y′）＞0，当1＜y＜1时，f′（y′）＜0．

∴当y′=1时，f（y′）取得最大值16．

曲线C′的内接矩形周长的最大值16

【解析】（1）求得曲线C的直角坐标方程，把直线l代入圆的直角坐标方程，化简后利用韦达定理可求t1+t2 ， t1t2的值，由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= ，即可求得|MA|+|MB|的值；（2）设矩形的顶点坐标为（x′，y′），则根据x′，y′的关系消元得出P关于x（或y）的函数，利用导数，求出此函数的最大值．