Question

设函数，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（1）求a的值，并证明函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）=4-x，得（a+1）x²-4x+a+1=0（*）
由a＞0知x=0不是方程（*）的解，
故△=16-4（a+1）²=0，得a=1．
设x₁＞x₂＞2，
可得：＞0，
所以，函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．
（2）在（0，+∞）上为增函数，
h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，故有h（m）=m，h（n）=n，
所以h（x）=x在（0，+∞）上有两个不等的实根．
得方程：
在（0，+∞）上有两个不等的实根x₁，x₂．
所以：，　
得．
所以k的取值范围为
分析：（1）根据方程f（x）=g（x）的x有且只有一个，得到关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0，可以求出a的值，得到函数f（x）的表达式，最后用函数单调性的定义可以证明出函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）将（1）中f（x）和g（x）的表达式代入，得，不难得出它是（0，+∞）上为增函数，在[m，n]上的值域为[m，n]说明h（m）=m，h（n）=n成立，
从而转化为一元二次方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）上有两个不等的实根x₁，x₂．最后利用根与系数的关系与根的判别式建立不等式组，解之得k的取值范围．
点评：本题着重考查了函数的单调性与函数的值域，以及一元二次方程根的分布等等知识点，属于中档题．解题时应该注意运用等价转化的思想和数形结合方法帮助理解．