Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：PB∥平面EFG
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB中点H，连接GH，HE，易知E，F，G，H四点共面，根据中位线定理可知EH∥PB，又EH?面EFG，PB?平面EFG，满足线面平行的判定定理所需条件；
（2）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，过A作AT⊥ER于T，可知AT就是点A到平面EFQ的距离，设CQ=x（0≤x≤2），在Rt△EAR中利用等面积法可求出x，从而求出所求．

解答：（1）证明：取AB中点H，连接GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，
∴E，F，G，H四点共面．
又H为AB中点，∴EH∥PB．又EH?面EFG，PB?平面EFG，
∴PB∥面EFG．
（2）解：假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．
过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD．
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．
又∵E，F分别是PA，PD中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB
又EF?面EFQ，∴面EFQ⊥平面PAB．
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离．
设CQ=x（0≤x≤2），则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，
在Rt△EAR中，AT=

AR•AE

RE

=

(2-x)•1

(2-x)2+12

=0.8，解得x=

2

3

．
故存在点Q，当CQ=

2

3

时，点A到平面EFQ的距离为0.8．

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及异面直线所成角和点到面的距离的度量，同时考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．