Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+λ，其中λ为实数，λ≠0且λ≠-1，n∈N₊．
（1）求证：当λ=1时，求证：{a_n+1}是等比数列；
（2）求证：数列{a_n}不是等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当λ=1时，根据数列的递推关系利用构造法结合等比数列的定义即可证明{a_n+1}是等比数列；
（2）利用反证法结合等比数列的定义和性质进行推理证明即可．

解答： 解：（1）当λ=1时，a_n+1=2a_n+λ=2a_n+1，
即a_n+1+1=2（a_n+1），即

an+1+1

an+1

=2，
∴数列{a_n+1}是等比数列．
（2）反证法：
假设{a_n}是等比数列，则a22=a₁•a₃，
∵a₁=1，a₂=2+λ，a₃=3λ+4，
∴满足（2+λ）²=3λ+4，
即λ²+λ=0，
解得λ=0或λ=-1，与条件λ≠0且λ≠-1矛盾，
故假设错误，
故数列{a_n}不是等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的证明，利用构造法是解决本题的关键．证明等比数列的过程中使用了反证法．