Question

6．在△ABC中，A为锐角，B＞C，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 可以得到$λsinA•\overrightarrow{BC}=-λsinA•\overrightarrow{AB}+λsinA•\overrightarrow{AC}$，从而根据平面向量基本定理得到$\frac{cosB}{sinC}+\frac{cosC}{sinB}=0$，进一步得到sin2B=-sin2C，根据条件可以判断出B为钝角，从而可以得到2B=2C+π，从而有$B=C+\frac{π}{2}$，根据前面$λsinA=\frac{cosC}{sinB}$，便可得出λsinA=1，sinA已知，从而便可得出λ的值．

解答 解：$λsinA•\overrightarrow{BC}=λsinA•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$-λsinA•\overrightarrow{AB}+λsinA•\overrightarrow{AC}$；
又$λsinA•\overrightarrow{BC}=\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}$；
∴$\frac{cosB}{sinC}+\frac{cosC}{sinB}=0$；
∴$\frac{cosB}{sinC}=-\frac{cosC}{sinB}$，sinBcosB=-sinCcosC；
∴sin2B=-sin2C；
∵A为锐角，B＞C；
∴B为钝角，C为锐角；
∴sin2B=sin（2C+π）；
∴2B=2C+π；
∴$B=C+\frac{π}{2}$；
∴$λsinA=\frac{cosC}{sinB}=\frac{cosC}{sin（C+\frac{π}{2}）}=\frac{cosC}{cosC}=1$；
∴$λ=\frac{1}{sinA}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，二倍角的正弦公式，以及三角函数的诱导公式．