Question

如图已知在三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：平面ABC₁∥平面MNQ；
（2）求证：平面PCC₁⊥平面MNQ．

Answer 1

分析：（1）欲证面平面ABC₁∥平面MNQ，只需证AB∥平面MNQ，而N，Q分别是BB₁，B₁C₁的中点，易证NQ∥BC₁，根据平面与平面平行的判定定理即得结论；
（2）欲证平面PCC₁⊥平面MNQ，只需证MN⊥面PCC₁，而MN∥AB．易证AB⊥面PCC₁，根据两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与面垂直即可．

解答：证明：（1）∵N，Q分别是BB₁，B₁C₁的中点，
∴NQ∥BC₁（1分）
又∵NQ?平面MNQ，BC₁?平面MNQ，
∴BC₁∥平面MNQ（4分）
∵AB∥MN，MN?平面MNQ，AB?平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ．（5分）
又∵AB∩BC₁=B，
∴平面ABC₁∥平面MNQ．（7分）
（2）∵AC=BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC  （8分）
∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，∴CC₁⊥面ABC，
而AB在平面ABC内，∴CC₁⊥AB，（9分）
∵CC₁∩PC=C∴AB⊥面PCC₁；          （10分）
又∵M、N分别是AA₁、BB₁的中点，四边形AA₁B₁B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC₁                           （12分）
∵MN在平面MNQ内，∴面PCC₁⊥面MNQ；   （14分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．