Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，又f（3）=0，则关于x的不等式xf（x）＜0的解集为{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}．

Answer 1

分析 由当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，可得xf（x）在（0，+∞）上是增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，可得关于x的不等式xf（x）＜0的解集．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴xf（x）是定义在R上的偶函数，
又∵f（3）=0，
∴f（-3）=-f（3）=0，
又∵当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，
即当x＞0时，[xf（x）]′＞0，
即xf（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当0＜x＜3时，xf（x）＜0，当x＞3时，xf（x）＞0，
∴当x＜-3时，xf（x）＞0，当-3＜x＜0时，xf（x）＜0，其图象如下：

∴不等式xf（x）＜0的解集为：{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}．
故答案为：{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}

点评 本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于作图，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．