精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
9.已知函数f(x)=ax-lnx.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若不等式f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)问题等价于$a>\frac{lnx}{x}$,令$k(x)=\frac{lnx}{x}$,根据函数的单调性求出k(x)的最大值,从而求出a的范围即可.

解答 解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),
$f'(x)=a-\frac{1}{x}$…(2分)
当a≤0,f'(x)<0,
所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无递增区间;…(3分)
当a>0,当$0<x<\frac{1}{a}$时,f'(x)<0,当$x>\frac{1}{a}$时f'(x)>0
所以f(x)的单调递减区间为$({0,\frac{1}{a}})$,递增区间为$({\frac{1}{a},+∞})$.…(5分)
(Ⅱ)由f(x)>0有ax>lnx,因为x>0,所以ax>lnx等价于$a>\frac{lnx}{x}$.…(7分)
令$k(x)=\frac{lnx}{x}$,$k'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$,由k'(x)=0可得x=e.…(8分)

(0,e)(e,+∞)
k'(x)大于0小于0
k(x)单调递增单调递减
…(10分)
由上表可知$k(x)≤k(e)=\frac{1}{e}<a$,
即实数a的取值范围是$(\frac{1}{e},+∞)$…(12分)

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查函数恒成立问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.设曲线C:y=alnx(a≠0)在点T(x0,alnx0)处的切线与x轴交于点A(f(x0),0),函数g(x)=$\frac{2x}{1+x}$.
(1)求f(x0),并求出f(x)在(0,+∞)上的极值;
(2)设在区间(0,1)上,方程f(x)=k的实数解为x1,g(x)=k的实数解为x2,比较x2与x1的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.若a,b,c为实数,下列结论正确的是(  )
A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a<b<0,则a2>ab>b2
C.若a<b<0,则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$D.若a<b<0,则$\frac{b}{a}>\frac{a}{b}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两人必须相邻,则不同的排法共有(  )
A.1108种B.1008种C.960种D.504种

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.设直线l:y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$,圆O:x2+y2-4x-2y+1=0,求直线l被圆O所截得的弦长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面AB B1A1=n,则m,n所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.已知f(x)=2ax-$\frac{b}{x}$+lnx在x=1与x=$\frac{1}{2}$处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对x∈[$\frac{1}{4}$,1]时,求f(x)的单调区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

18.已知f(x)=x2,g(x)=-log3x-m,若存在x1∈[-1,3],x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是[-10+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知$\overrightarrow m$=($\sqrt{3}$sinx,2),$\overrightarrow n$=(2cosx,cos2x),f(x)=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$.
(1)求f(x)的解析式及最小正周期
(2)求f(x)的单调增区间.

查看答案和解析>>

同步练习册答案