Question

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证：f(1+a)-f(2)＜

a-1

2

．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切线斜率等于f'（1），从而可得到切线方程，最后切线方程与函数g（x）联立可求出m的值．
（2）根据（1）中m的值可先确定函数g（x）的解析式，然后对其求导代入函数h（x）中确定其解析式，再对函数h（x）进行求导，根据导数的正负判断函数的单调性进而可确定最大值．
（3）先对f（1+a）-f（2）进行整理变形为f(1+a)-f(2)=ln(1+

a-1

2

)，再根据（2）可得到当-1＜x＜0时h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，可得证．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切
∴

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合题意，舍去）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（x＞-1）
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
所以，当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
当0＜a＜1时，-1＜

a-1

2

＜0
∴f(1+a)-f(2)=ln

1+a

2

=ln(1+

a-1

2

)＜

a-1

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、导数的几何意义、根据导数求函数的最值的问题．