【题目】如图,的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F,直线AI、BI与分别交于点.过点作边AB的平行线分别与交于点,联结,过点F作的一条垂线与交于点,过点F作的一条垂线与交于点.设直线与直线交于点C’,类似地,得到点A’、B’.证明:的外接圆半径是半径的2倍.
【答案】见解析
【解析】
先证明一个引理.
引理 如图,过外一点A作的一条切线AT,T为切点,再过A作一条直线与交于B、C两点(AB<AC),过点C作AT的平行线与交于点D,过T作DT的一条垂线与DB交于点E.则∠BAT=∠EAT.
证明 设TO与的另一个交点为T’,联结T’B并延长,与AT交于点S,联结TB、TC.
则∠ABS=∠T’BC=∠DBT’=∠DTT’=90°-∠DTA=∠ATE.
又∠TDE=∠TDB=∠TT’B=∠BTS,∠DTE=∠TBS=90°.
故.
又
因此,.
又∠ABS=∠DBT’=∠ATE,则
.
回到原题.
由引理知,
,.
为的中垂线.
由 I’、F、C’三点共线,且F为C’I的中点
(r为半径).
类似地,IA’=2r,IB’=2r.
故I为的外心,且的外接圆半径为半径的2倍.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为,过其右焦点F的直线交椭圆C于M,N两点,交y轴于E点.若,.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)试判断是否是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】每个国家对退休年龄都有不一样的规定,从2018年开始,我国关于延迟退休的话题一直在网上热议,为了了解市民对“延迟退休”的态度,现从某地市民中随机选取100人进行调查,调查情况如下表:
年龄段(单位:岁) | ||||||
被调查的人数 | ||||||
赞成的人数 |
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人,此人年龄在的概率为,求出表格中的值;
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样,从中抽取10人参与某项调查,然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会,记这4人中赞成“延迟退休”的人数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A(2,4)
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
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