Question

已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），O为坐标原点，F为抛物线焦点，直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=4

2

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线过点F交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，且

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，对任意的直线l，a+b是否为定值？若是，求出a+b的值；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

y=x x2=2py

，解得O，N的坐标，利用|ON|=4

2

，可求p的值，从而可得抛物线C的方程；
（2）直线方程为y=kx+1与x轴交于M（-

1

k

，0），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，可得a=-

kx1+1

kx1

，b=-

kx2+1

kx2

，由此可得结论．

解答：解：（1）由

y=x x2=2py

，解得O（0，0），N（2p，2p）
∵|ON|=4

2

∴4p²+4p²=32
∴p=2
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）显然直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1，l与x轴交于M（-

1

k

，0）
设l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线与抛物线联立，消元可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
由

MA

=a

AF

，得（x₁+

1

k

，y₁）=a（-x₁，1-y₁），即a=-

kx1+1

kx1

同理b=-

kx2+1

kx2

∴a+b=-（2+

x2+x1

kx1x2

）=-1
∴对任意的直线l，a+b为定值．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，联立方程，利用韦达定理是关键．