Question

19．a₁=4，a_n+1=a_n²+6a_n+6，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知数列递推式右边配方变形，两边取对数后可得数列{lg（a_n+3）}构成以lg7为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后结合对数的运算性质得答案．

解答 解：由a_n+1=a_n²+6a_n+6，得${a}_{n+1}+3=（{a}_{n}+3）^{2}$，
两边取对数，得lg（a_n+1+3）=2lg（a_n+3），
∵lg（a₁+3）=lg7≠0，
∴$\frac{lg（{a}_{n+1}+3）}{lg（{a}_{n}+3）}=2$．
即数列{lg（a_n+3）}构成以lg7为首项，以2为公比的等比数列，
则$lg（{a}_{n}+3）={2}^{n-1}•lg7$，
∴${a}_{n}+3=1{0}^{lg{7}^{{2}^{n-1}}}$=${7}^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法和对数的运算性质，是中档题．