Question

（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

6

x+1，则该函数的对称中心为

(

1

2

，1)

，计算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=

2012

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（

1

2

，1），可知f（x）+f（1-x）=2，由此能够求出所给的式子的值．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+

1

6

x+1，则 f′（x）=x²-x+

1

6

，f″（x）=2x-1，令f″（x）=2x-1=0，求得x=

1

2

，
故函数y=f（x）的“拐点”为（

1

2

，1）．
由于函数的对称中心为（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)=2×1006=2012，
故答案为 （

1

2

，1），2012．

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于中档题．