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【题目】如图所示,MCN是某海湾旅游区的一角,为营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定建立面积为4 平方千米的三角形主题游戏乐园ABC,并在区域CDE建立水上餐厅.已知∠ACB=120°,∠DCE=30°.
(1)设AC=x,AB=y,用x表示y,并求y的最小值;
(2)设∠ACD=θ(θ为锐角),当AB最小时,用θ表示区域CDE的面积S,并求S的最小值.

【答案】
(1)解:∵AC=x,AB=y,∠ACB=120°,

SABC= ACBCsin120°= =4

∴BC=

△ABC中,利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos120°,

即y2=x2+ +16≥2 +16=48,

∴y≥4 ,当且仅当x2=16,即x=4时,取等号,

故当x=4时,y取得最小值为4


(2)解:设∠ACD=θ(θ为锐角),

当AB最小时,x=AC=4=BC,AB=4 ,∠CAB=∠CBA=30°,

△ACD中,由正弦定理可得 =

∴CD= = =

△ACE中,由正弦定理可得CE= = =

根据区域CDE的面积S= CDCEsin30°= =

故当2θ= ,即θ= 时,区域CDE的面积S取得最小值为 =8﹣4


【解析】1、根据题意可设AC=x,AB=y利用余弦定理求得BC的值即得y的函数解析式再利用基本不等式求得y的最小值。
2、由题意可知在△ACD中根据正弦定理求得CD的值在△ACE中再根据正弦定理求得CE的值。根据区域CDE的面积S=,利用正弦函数的值域求得区域CDE的面积最小值。

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