Question

【题目】已知抛物线的焦点为, 直线过点.

(Ⅰ)若点到直线的距离为, 求直线的斜率;

(Ⅱ)设为抛物线上两点, 且不与轴垂直, 若线段的垂直平分线恰过点, 求证: 线段中点的横坐标为定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），因为点F到直线l的距离为，所以，由此能求出直线l的斜率；（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N，A，B，因为AB不垂直于x轴，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为，由此能够证明线段AB中点的横坐标为定值

试题解析：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x-4），

由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），

因为点F到直线l的距离为，

所以，

解得，所以直线l的斜率为 .

(Ⅱ) 设线段中点的坐标为, ,

因为不垂直于轴,

则直线的斜率为, 直线的斜率为,

直线的方程为,

联立方程

消去得,

所以,

因为为中点, 所以, 即,

所以.即线段中点的横坐标为定值.