Question

定义在R上的函数f（x）满足
①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求f（0）值；
（2）判断函数f（x）奇偶性；
（3）判断函数f（x）的单调性；
（4）解不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8．

Answer 1

分析：（1）根据已知等式，采用赋值法，取x=y=0，可得f（0）的值
（2）结合（1）中结论，继续采用赋值法，取y=-x，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（3）根据函数单调性的定义，任取x₁＜x₂，将 f（x₂）与f（x₁）作差得到负数，从而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是减函数；
（4）根据函数在R上是奇函数且为减函数，将原不等式转化为x²-3x-4≤0，再根据二次不等式的解法，得到答案．

解答：解：∵对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
（2）取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数
（3）任取x₁＜x₂，
则 x₂-x₁＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
又∵当x＞0时，f（x）＜0，
f（x₂）-f（x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x） 在R上是减函数 
（4）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（4）=f（2）+f（2）=-8
∴不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8
可化为f（x²-2x）-f（x）≥f（4）
即f（x²-2x）≥f（x）+f（4）
即x²-2x≤x+4
即x²-3x-4≤0
解得-1≤x≤4
故不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8的解集为[-1，4]

点评：本题着重考查了函数的单调性与奇偶性、二次不等式的处理等知识，属于中档题．