Question

11．已知a＞0，且a≠1，试讨论函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$的单调性．

Answer 1

分析 利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：设t=x²+6x+17，则函数等价为y=a^t，
t=x²+6x+17的对称轴为x=-3，
若a＞1，则y=a^t，为增函数，
当x≥-3时，t=x²+6x+17为增函数，此时y=a^t，为增函数，即函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，+∞），
当x≤-3时，t=x²+6x+17为减函数，此时y=a^t，为增函数，即函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$为减函数，即函数的单调递减区间为（-∞，-3]．
若0＜a＜1，则y=a^t，为减函数，
当x≥-3时，t=x²+6x+17为增函数，此时y=a^t，为减函数，即函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$为减函数，即函数的单调递减区间为[-3，+∞），
当x≤-3时，t=x²+6x+17为减函数，此时y=a^t，为减函数，即函数f（x）=a${\;}^{{x}^{2}+6x+17}$为增函数，即函数的单调递增区间为（-∞，-3]．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，根据指数函数和一元二次函数的单调性，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．