Question

已知函数f（x）=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos

x

2

，x∈R的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ） 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=2sin(

x

2

+

π

6

)，易得最小正周期为4π，解不等式2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得单调递增区间；
（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得AC=

3T

4

=3π，BC=2，易得要求正切值．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f(x)=2

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos

x

2

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，
由周期公式可得T=

2π

1 2

=4π．
∴函数f（x）的最小正周期为4π，
由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)；
（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．
由题意得AC=

3T

4

=3π，BC=2，
∴tan∠BAO=

BC

AC

=

2

3π

．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．