Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面
所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，
AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3，且设点O是AB的中点。

（1）证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求异面直线OC与A_lB_l所成角的正切值。

Answer 1

（1）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D，得到OD∥BB₁∥CC_{1 ，}                                          
因为O是AB的中点，可证ODCC₁是平行四边形，因此有OC∥C₁D，推出OC∥面A₁B₁C₁ ；
（2）。

试题分析：（1）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D    
              
则OD∥BB₁∥CC₁                                              
因为O是AB的中点，
所以
则ODCC₁是平行四边形，因此有OC∥C₁D
平面C₁B₁A₁且平面C₁B₁A₁，
则OC∥面A₁B₁C₁                   6分
（2）由（1）得OC∥C₁D，则为异面直线OC与A_lB_l所成角。
在中，         12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，如果利用空间向量，可省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。