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如图,已知数学公式,P是圆数学公式(M为圆心)上一动点,线段PN的垂直平分线m交PM于Q点.
(Ⅰ)求点Q的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若直线y=x+b与曲线C相交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.

解:(Ⅰ)由题意得:|PQ|=|QN|,|QM|+|QP|=|MP|
∴|QM|+|QN|=|MP|
∵P是圆(M为圆心)上一动点,
∴|MP|=6
∴|QM|+|QN|=6
∵M(-,0,N(,0),|MN|=2<6
∴点Q在以M、N为焦点的椭圆上,即c=,a=3,
∴b2=a2-c2=4
∴点Q的轨迹方程为
(Ⅱ)直线y=x+b,代入椭圆方程,消去y可得13x2+18bx+9b2-36=0
△=(18b)2-4×13×(9b2-36)>0,∴-
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=
∴|AB|=|x1-x2|=
设点O到直线AB的距离为d,则d=
∴△AOB面积S=|AB|d===3
当b=±时,等号成立
∴当b=±时,面积的最大值为3.
分析:(Ⅰ)利用椭圆的定义,可得点Q在以M、N为焦点的椭圆上,由此可求点Q的轨迹C的方程;
(Ⅱ)直线方程代入椭圆方程,求得|AB|,再求出点O到直线AB的距离,可得△AOB面积,利用基本不等式可求最值.
点评:本题考查椭圆的定义与标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查基本不等式,属于中档题.
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(2011•武昌区模拟)如图,已知点P是圆上C:x2+(y-2
2
2=1的一个动点,点Q是直线l:x-y=0上的一个动点,O为坐标原点,则向量
OP
在向量
OQ
上的投影的最大值是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武昌区模拟)如图,已知点P是圆C:x2+(y-2
2
)
2
=1
上的一个动点,点Q是直线l:x-y=0上的一个动点,O为坐标原点,则向量
OP
在向量
OQ
上的投影的最大值是(  )

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广西桂林十八中高三(上)第三次月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,已知,P是圆(M为圆心)上一动点,线段PN的垂直平分线m交PM于Q点.
(Ⅰ)求点Q的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若直线y=x+b与曲线C相交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:2011年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

如图,已知点P是圆上C:x2+(y-22=1的一个动点,点Q是直线l:x-y=0上的一个动点,O为坐标原点,则向量上的投影的最大值是( )

A.3
B.
C.
D.1

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A.3
B.
C.
D.1

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