【题目】如图所示,四棱锥中, 平面, , , , 为线段上一点, , 为线段上一点, .
(1)证明: 平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】试题分析:证明线面平行有两种思路:第一寻求线线平行,利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行,进而说明线面平行;本题借助平行四边形可以得到线线平行,进而证明线面平行;第二步求线面角,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,借助空间向量,求法向量,利用公式求角.
试题解析:
(Ⅰ)证明:由已知得,如图,取上靠近的四等分点,连接,
由知, .
又,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是.
因为平面, 平面,所以平面.
(Ⅱ)解:如图,取的中点,连接.
由得,从而,且.
以为坐标原点, 的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知, , , , , ,
, , .
设为平面的一个法向量,
则即
可取.于是,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】已知函数f(x)= (a是常数,且a>0).对于下列命题:①函数f(x)的最小值是﹣1;②函数f(x)在R上是单调函数;③若f(x)>0在[ ,+∞)上恒成立,则a的取值范围是a>1;④对任意x1<0,x2<0且x1≠x2 , 恒有f( )> .其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.①③
C.③④
D.②④
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【题目】若f(x)是定义在R上的可导函数,且满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)>2f(1)
C.f(0)+f(2)≤2f(1)
D.f(0)+f(2)≥2f(1)
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=2n2+n,n∈N* , 数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N* .
(1)求an , bn;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn .
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【题目】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为15.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设表示体重超过65公斤的学生人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】已知[x)表示大于x的最小整数,例如[3)=4,[﹣1,3)=﹣1,下列命题中正确的是( ) ①函数f(x)=[x)﹣x的值域是(0,1]
②若{an}是等差数列,则{[an)}也是等差数列
③若{an}是等比数列,则{[an)}也是等比数列
④若x∈(1,2017),则方程[x)﹣x=sin x有1007个根.
A.②
B.③④
C.①
D.①④
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【题目】已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.
(1)求的值;
(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;
(3)若有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
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【题目】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,mα,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,mα,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
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