Question

已知函数①f（x）=5x²；②f（x）=5cosx；③f（x）=5e^x；④f（x）=5lnx，其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在唯一的自变量x₂，使

f(x1)f(x2)

=5成立的函数有（　　）个．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：验证f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在唯一的自变量x₂，f(x2)=

25

f(x1)

，即看f(x1)\的倒数的25倍是否唯一．
对于①，对于定义域内的任意一个非零实数x，都有倒数，但倒数对应的自变量x₂有两个，不唯一，故不满足条件． 通过举反例可得②④不正确．对于③，对定义域内的任意一个自变量，函数都有唯一的倒数，故满足条件．

解答： 解：对于①f（x）=5x²，对于定义域内的任意一个非零实数x，都有倒数，但倒数对应的自变量x₂，有两个，它们互为相反数，故不满足条件．
对于②f（x）=5cosx，当x=2kπ+

π

2

时，函数值f（x）=0，函数没有倒数，故不满足条件．
对于③f（x）=5e^x ，对任意一个自变量，函数都有唯一的倒数，故满足条件．
对于④f（x）=5lnx，x=1时，lnx没有倒数，故不满足条件．
故选A．

点评：本题是选择题，主要考查函数的概念及其构成要素，可采用逐一检验的方法进行判定，注意抓住两个关键词“任意”与“唯一”进行判定，属于基础题．