Question

19．对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3），解答下述问题
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围
（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围
（3）若函数在[-1，+∞）内有意义，求实数a的取值范围
（4）若函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值
（5）若函数的值域为（-∞，-1]，求实数a的值
（6）若函数（-∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 内函数的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，当x=a时，t=x²-2ax+3取最小值3-a²；
（1）若函数的定义域为R，则3-a²＞0；
（2）若函数的值域为R，则3-a²≤0；
（3）若函数在[-1，+∞）内有意义，则a≤-1时，t|_x=-1=x²-2ax+3=2a+4＞0；a＞-1时，3-a²＞0；
（4）若函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），则1+3=2a：
（5）若函数的值域为（-∞，-1]，则3-a²=2；
（6）若函数（-∞，1]内为增函数，则a≥1，且t|_x=1=x²-2ax+3=-2a+4＞0．

解答 解：∵函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3），
令t=x²-2ax+3，则t=x²-2ax+3的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
当x=a时，t=x²-2ax+3取最小值3-a²，
（1）若函数的定义域为R，
则3-a²＞0，解得：a∈（$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
（2）若函数的值域为R，
则3-a²≤0，解得：a∈（-∞，$-\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）；
（3）若函数在[-1，+∞）内有意义，
则a≤-1时，t|_x=-1=x²-2ax+3=2a+4＞0，解得：a∈（-2，-1]，
则a＞-1时，3-a²＞0，解得：a∈（-1，$\sqrt{3}$]，
综上所述a∈（-2，$\sqrt{3}$]，
（4）若函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），
则1+3=2a，解得a=2，
（5）若函数的值域为（-∞，-1]，
3-a²=2，解得a=±1，
（6）若函数（-∞，1]内为增函数，
则a≥1，且t|_x=1=x²-2ax+3=-2a+4＞0，解得：a∈[1，2）．

点评 本题考查的知识点是二次函数图象和性质，指数函数的图象和性质，难度中档．