Question

在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，

AB

•

AC

=9，又△ABC的面积等于6．
（1）求角C；
（2）求△ABC的三条边长之和．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用sinB=cosAsinC，可得cosA=

sinB

sinC

=

b

c

，从而可得a²+b²=c²，即可求角C；
（2）利用

AB

•

AC

=9，△ABC的面积等于6，求出a，b，c，即可求△ABC的三条边长之和．

解答： 解：（1）设A、B、C对应的三边分别为a、b、c，
∵sinB=cosAsinC，∴cosA=

sinB

sinC

=

b

c

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

b

c

，即a²+b²=c²，∴C=90°
（2）

AB • AC =| AB |•| AC |cosA=9(1) S△ABC= 1 2 | AB |•| AC |sinA=6(2)

（1）÷（2）得tanA=

4

3

=

a

b

，∴3a=4b，
又S△ABC=

1

2

ab=6，∴ab=12，
∴a=4，b=3，c=5，∴a+b+c=12

点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．