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    证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
    OA
    =x
    OB
    +y
    OC
    +z
    OD
    ．
    （必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
    则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
    ?对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得
    OA
    =
    OB
    +x1
    BC
    +y1
    BD

    =
    OB
    +x1（
    OC
    -
    OB
    ）+y1（
    OD
    -
    OB
    ）
    =（1-x1-y1）
    OB
    +x1
    OC
    +y1
    OD
    ，
    取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，
    则有
    OA
    =x
    OB
    +y
    OC
    +z
    OD
    ，且x+y+z=1．
    （充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
    OA
    =x
    OB
    +y
    OC
    +z
    OD
    ．
    所以x=1-y-z得
    OA
    =（1-y-z）
    OB
    +y
    OC
    +z
    OD
    ．
    OA
    =
    OB
    +y
    BC
    +z
    BD
    ，即：
    BA
    =y
    BC
    +z
    BD
    ，
    所以四点A、B、C、D共面．
    所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
    对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
    OA
    =x
    OB
    +y
    OC
    +z
    OD
    ．
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