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△ABC中,cosB为sinA,sinC的等比中项,sinB为cosA,cosC的等差中项,则∠B等于
 
考点:等差数列与等比数列的综合
专题:等差数列与等比数列,解三角形
分析:由等比中项的性质得cos2B=sinAsinC,由余弦定理得cosB=
a2+c2-b2
2ac
,由正弦定理化为cosB=
sin2A+sin2C-sin2B
2cos2B
并化为整式,由等差中项的性质得2sinB=cosA+cosC,两边平方后由平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式进行化简,并全部转成cosB形式,再因式分解结合内角的范围求出cosB的值,即可求出角B.
解答: 解:因为△ABC中,cosB为sinA,sinC的等比中项,所以cos2B=sinAsinC,
由余弦定理得,cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
sin2A+sin2C-sin2B
2sinAsinC
=
sin2A+sin2C-sin2B
2cos2B

所以sin2A+sin2C=2cos3B+sin2B,①
因为sinB为cosA,cosC的等差中项,所以2sinB=cosA+cosC,
则4sin2B=cos2A+cos2C+2cosAcosC,
cos2A+cos2C=4sin2B-2cosAcosC,
所以sin2A+sin2C=2-4sin2B+2cosAcosC
代入①得,2-4sin2B+2cosAcosC=2cos3B+sin2B
则5sin2B=2+2cosAcosC-2cos3B,②
又-cosB=cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,
则cosAcosC=-cosB+sinAsinC=-cosB+cos2B,
代入②得,5sin2B=2-2cosB+2cos2B-2cos3B
全部转成cosB形式:2cos3B-7cos2B+2cosB+3=0,
则2cos3B-2cos2B-(5cos2B-2cosB-3)=0,
因式分解得:(cosB-3)(2cosB+1)(cosB-1)=0,
解得cosB=3或1或-
1
2

又0°<B<180°,则cosB=-
1
2
,所以cosB=120°,
故答案为:120°.
点评:本题考查等比、等差中项的性质,平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式,考查化简、整合、变形能力,难度较大,需要熟练掌握公式和较强的逻辑思维能力.
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2
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π
2
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(2)在(1)的条件下,将函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
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③如果f(x)∈A,g(x)∈B,那么一定有f(x)+g(x)∈A;
④如果f(x)∈A,那么对任意b∈R,总存在a∈D,使得f(a)=b.
其中正确的有
 
(写出所有正确结论的序号).

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x
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