Question

某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+500（单位：万元）．
（1）求利润函数p（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）在经济学中，定义函数f（x）的边际函数Mf（x）=f（x+1）-f（x）．求边际利润函数Mp（x），并求Mp（x）单调递减时x的取值范围；试说明Mp（x）单调递减在本题中的实际意义是什么？（参考公式：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³）

Answer 1

解：（1）根据利润=产值-成本，可得p（x）=R（x）-C（x）=3700x+45x²-10x³-460x-500
=-10x³+45x²+3240x-500，（x∈N^*，1≤x≤20）（3分）
（2）求导函数，可得p′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），（6分）
∴当0＜x＜12时，p′（x）＞0，当x＜12时，p′（x）＜0．
∴x=12时，p（x）有最大值．
即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大．（8分）
（3）∵Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-10（x+1）³+45（x+1）²+3240（x+1）-500-（-10x³+45x²+3240x-500）
=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，（x∈N^*，1≤x≤19）
所以，当x≥1时，Mp（x）单调递减，x的取值范围为[1，19]，且x∈N^*．（11分）
Mp（x）是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．（13分）
分析：（1）根据利润=产值-成本，即p（x）=R（x）-C（x），可得函数关系式；
（2）求导函数，确定函数的单调性，从惹人确定函数的极值与最值；
（3）根据边际函数的定义，写出函数的关系式，配方结合函数的定义域，即可求解．
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．