Question

13．已知$\left\{\begin{array}{l}sinθ-cosθ=\frac{1}{5}\\ si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1\end{array}\right.$，求sinθ和cosθ的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθ+cosθ 的值，解方程组求得sinθ和cosθ的值．

解答 解：∵已知$\left\{\begin{array}{l}sinθ-cosθ=\frac{1}{5}\\ si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1\end{array}\right.$，∴1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$＞0，
∴sinθ 和cosθ的符号相同．
故sinθ+cosθ=±$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=±$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=±$\frac{7}{5}$．
当sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$，求得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$；
当sinθ+cosθ=-$\frac{7}{5}$，求得sinθ=-$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．