已知椭圆:
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图),直线
分别与椭圆
交于
两点,其中点
满足
,且
.
①证明直线与
轴交点的位置与
无关;
②若∆面积是∆
面积的5倍,求
的值;
(2)若圆:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.
(1)①交点为;②
;(2)
.
解析试题分析:(1)①本题方法很容易想到,主要考查计算推理能力,写出直线的方程,然后把直线
方程与椭圆方程联立,求得
点坐标,同理求得
点坐标,从而得到直线
的方程,令
,求出
,与
无关;②两个三角形∆
与∆
有一对对顶角
和
,故面积用公式
,
表示,那么面积比就为
,即
,这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式,从而求出
;(2)仍采取基本方法,设
的方程为
,则
的方程为
,直线
与圆
相交于
,弦
的长可用直角三角形法求,(弦心距,半径,半个弦长构成一个直角三角形),
的高为
是直线
与椭圆相交的弦长,用公式
来求,再借助于基本不等式求出最大值及相应的
值,也即得出
的方程.
试题解析:(1)①因为,M (m,
),且
,
直线AM的斜率为k1=
,直线BM斜率为k2=
,
直线AM的方程为y=
,直线BM的方程为y=
,
由得
,
由得
,
;
据已知,,
直线EF的斜率
直线EF的方程为
,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.
②,
,
,
,
,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线C:,定点M(0,5),直线
与
轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过
与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过
两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:的两个焦点是F1(
c,0),F2(c,0)(c>0)。
(I)若直线与椭圆C有公共点,求
的取值范围;
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时,椭圆的方程;
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A,B,点Q满足 且
,其中N为椭圆的下顶点,求直线l在y轴上截距的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线
的焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足=
,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆:
的离心率为
,点
(
,0),
(0,
)原点
到直线
的距离为
。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设点为(
,0),点
在椭圆
上(与
、
均不重合),点
在直线
上,若直线
的方程为
,且
,试求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点,短轴长为4,且有一个焦点与抛物线的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知经过定点M(2,0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点,试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
?若存在,求出
点坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,已知圆为圆上一动点,点
是线段
的垂直平分线与直线
的交点.
(1)求点的轨迹曲线
的方程;
(2)设点是曲线
上任意一点,写出曲线
在点
处的切线
的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点
与直线
垂直,点
关于直线
的对称点为
,证明:直线
恒过一定点,并求定点的坐标.
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