Question

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在上的最大值；
（2）当函数f（x）在单调时，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）a=3时，，
∵当时，f′（x）＞0，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在最大值是f（1）=2，…（5分）
（2），令，则，
则函数g（x）在递减，在递增，
由，，，故函数g（x）在的值域为．
若f'（x）≤0在恒成立，即在恒成立，只要，
若要f'（x）≥0在在恒成立，即在恒成立，
只要．
即a的取值范围是．…（12分）
分析：（1）求导函数，确定函数f（x）在上的单调性，从而可f（x）在上的最大值；
（2）函数f（x）在单调，等价于f'（x）≤0在恒成立，或f'（x）≥0在在恒成立，利用分离参数法，求出函数的最值即可．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．