Question

已知函数f（x）=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin²

x

3

．
（I）求f（x）的图象的对称中心坐标；
（II）在△ABC中，A、B、C所对边分别为，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA．

Answer 1

分析：（I）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的对称中心即可确定出f（x）的图象的对称中心坐标；
（II）由f（C）=1，利用第一问确定的函数解析式求出C的度数为

π

2

，利用勾股定理列出关系式，将已知等式代入，利用正弦定理化简即可求出sinA的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sin

2x

3

+cos

2x

3

-1=2sin（

2x

3

+

π

6

）-1，
令

2x

3

+

π

6

=kπ（k∈Z），得x=

3kπ

2

-

π

4

，此时f（x）=-1，
则f（x）的图象的对称中心坐标为（

3kπ

2

-

π

4

，-1）（k∈Z）；
（II）在△ABC中，由f（C）=1，得到2sin（

2C

3

+

π

6

）-1=1，即sin（

2C

3

+

π

6

）=1，
∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，即C=

π

2

，
∵b²=ac，∴c²=a²+b²=a²+ac，
利用正弦定理化简得：sin²C=sin²A+sinAsinC，即sin²A+sinA-1=0，
解得：sinA=

5 -1

2

．

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，正弦函数的对称性，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．