长度为(
)的线段AB的两个端点A、B分别在
轴和
轴上滑动,点P在线段AB上,且满足
(
为常数,且
).
(1)求点P的轨迹方程C;
(2)当时,过点M(1,0)作两条互相垂直的直线
和
,
和
分别与曲线C相交于点N和Q(N、Q都异于点M),试问△MNQ能不能是等腰三角形?若能,这样的三角形有几个;若不能,请说明理由.
解:(1)依题意,设点A、B的坐标分别为(,0)、(0,
),点P的坐标为(
,
).
由,故
∴,即
∵,∴
∴
∴点P的轨迹方程C是
(2)当时,曲线C的方程是
,故点M(1,0)在曲线C上
依题意,可知直线和
都不可能与坐标轴平行,可设直线
方程为
,
直线方程为
,不妨设
>0.
由,消去y得
由,又
得
,
∴|MN|=
=
=.
同理可得|MQ|=
=.
假设△MNQ是等腰三角形,则|MN|=|MQ|,
即=
,
化简得,
∴或
①
①式的判别式△=
若△=<0,解得
,此时式①得
无解;
若△==0,解得
,由式①得
;
若△=>0,解得
,由式①得
(可以验证且
).
综上所述,△MNQ能是等腰三角形,
当时,这样的三角形有1个;
当时,这样的三角形有3个.
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