Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=x+1．
（1）若当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈[-2，0]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）当x∈R时，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，可得△=λ²+4λ+4≤0，即可求实数λ的取值范围；
（2）分类讨论，利用配方法，即可求函数h（x）=|f（x）|+λ|g（x）|在区间x∈[-2，0]上的最大值．

解答： 解：（1）∵x²-1≥λ（x+1），x∈R恒成立，
∴x²-λx-λ-1≥0，x∈R恒成立，
∴△=λ²+4λ+4≤0，∴λ=-2…（5分）
（2）∵h(x)=|x2-1|+λ|x+1|=

x2-λx-λ-1，-2≤x≤-1 -x2+λx+λ+1，-1＜x≤0

①当-2≤x≤-1时，h(x)=(x-

λ

2

)2-

λ2

4

-λ-1，
（ⅰ）当λ≤-3时，h_max=h（-1）=0；（ⅱ）当λ＞-3时，h_max=h（-2）=λ+3；
②当-1＜x≤0时，h(x)=-(x-

λ

2

)2+

λ2

4

+λ+1，
（ⅰ）当λ≤-2时，h（x）＜h（-1）=0；（ⅱ）当λ≥0时，h_max=h（0）=λ+1；
（ⅲ）当-2＜λ＜0时，hmax=h(-

λ

2

)=

λ2

4

+λ+1，
综上：①当λ≤-3时，h_max=0；②当λ＞-3时，h_max=λ+3．…（9分）

点评：本题考查恒成立问题，考查函数在区间x∈[-2，0]上的最大值，考查配方法，属于中档题．