Question

一个正三棱柱有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的六个顶点），则此内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比为1：

 

：

 

．

Answer 1

分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当球外接正三棱柱时，球的球心是正三棱柱中心高线的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比．

解答：解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，其内切球的半径为R
当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=

3

3

a，到相对棱的距离是

2 3

3

a
又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为

2 3

3

a，
 球外接正三棱柱时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离

2 3

3

a，棱锥的高为

3

3

a
故正三棱锥外接球的半径满足 R22=(

2 3

3

a)2+(

3

3

a)2=

5

3

a2，
三棱柱的表面积为：2×

3

4

a2+3a× 

2 3

3

a=

5 3

2

a2
∴内切球、外接球与正三棱柱三个几何体的表面积之比4（π

1

3

a2）：（4π

5

3

a2）：

5 3

2

a2=R²：R₂²=1：5：

9 3

2π

．

故答案为：5；

9 3

2π

．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是本题的关键．