[题目]已知椭圆:的短轴长为2.以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程,(2)斜率为的直线交椭圆于.两点.且.若直线上存在点.使得是以为顶角的等腰直角三角形.求直线的方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆：的短轴长为2，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线交椭圆于，两点，且，若直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先由短轴长求出的值，再根据点到直线的距离公式求出的值即可；（2）设直线的方程为，先由得，则，，再根据直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，得出，最后由方程组即可求出的值进而求出直线的方程.

（1）由题意得，，则，所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，，

由得.

令，得，则，.

因为是以为顶角的等腰直角三角形，

所以平行于轴，过作的垂线，则垂足为线段的中点.

设点的坐标为，则.

由方程组解得，即.

而，所以直线的方程为.

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组别
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