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如图,已知椭圆 的离心率为 ,点 为其下焦点,点为坐标原点,过 的直线 (其中)与椭圆 相交于两点,且满足:.

(1)试用  表示
(2)求  的最大值;
(3)若 ,求  的取值范围.

(1);(2)离心率的最大值为;(3)的取值范围是.

解析试题分析:(1)设,联立椭圆与直线的方程,消去得到,应用二次方程根与系数的关系得到,然后计算得,将其代入化简即可得到;(2)利用(1)中得到的,即(注意),结合,化简求解即可得出的最大值;(3)利用先求出的取值范围,最后根据(1)中,求出的取值范围即可.
试题解析:(1)联立方程消去,化简得    1分
,则有           3分


  5分
                   6分
(2)由(1)知,∴        8分
   ∴离心率的最大值为                  10分
(3)∵ ∴        ∴          12分
解得  ∴
的取值范围是                  14分.
考点:1.椭圆的标准方程及其性质;2.二次方程根与系数的关系.

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