Question

已知常数a≠0，数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若，且数列{b_n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
（3）若，数列{c_n}满足：，对于任意给定的正整数k，是否存在p，q∈N^*，使c_k=c_p•c_q？若存在，求p，q的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，…（2分）
∴a_n+1=[（n+1）a_n+1-a（n+1）n]-[na_n-an（n-1）]
化简得：a_n+1-a_n=2a（常数），
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2a的等差数列；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），
又∵，b_n＜b_n+1，
∴，
∴（-1）ⁿ[1+（2n-1）a]＜3ⁿ
①当n是奇数时，∵-[1+（2n-1）a]＜3ⁿ，
∴，n=1，3，5，7，…
令，
∴a＞f（n）_max
∵
∴f（1）＞f（3）＞f（5）＞…＞f（n）＞…，且f（1）=-4，
∴a＞-4；…（7分）
②当n是偶数时，
∵1+（2n-1）a＜3ⁿ，
∴，n=2，4，6，8，…
令，
∴a＜g（n）_min
∵
∴g（2）＜g（4）＜g（6）＜…＜g（n）＜…，且，
∴；
综上可得：实数a的取值范围是．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a_n=n，又∵，
设对任意正整数k，都存在正整数p，q，使c_k=c_pc_q，
∴，
∴…（12分）
令q=k+1，则p=k（k+2012）（或q=2k，p=2k+2011）
∴c_k=c_{k（k+2012）}•c_k+1（或c_k=c_2k+2011•c_2k）…（16分）
分析：（Ⅰ）由已知利用a_n+1=S_n+1-S_n，代入整理化简得：a_n+1-a_n=2a（常数），可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），，结合b_n＜b_n+1，可得（-1）ⁿ[1+（2n-1）a]＜3ⁿ①当n是奇数②当n是偶数，结合数列的单调性及恒成立与最值的相互转换可求a的范围
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，假设 满足c_k=c_pc_q，代入整理可得可求
点评：本题综合考查了由数列的和与项的递推公式证明等差数列，及利用数列的单调性求解数列的最大（最小）项的问题及恒成立与最值求解的相互转化．