解:(Ⅰ)∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81956.png)
∴S
n=na
n-an(n-1),a
n+1=S
n+1-S
n,…(2分)
∴a
n+1=[(n+1)a
n+1-a(n+1)n]-[na
n-an(n-1)]
化简得:a
n+1-a
n=2a(常数),
∴数列{a
n}是以1为首项,公差为2a的等差数列;…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n=1+2a(n-1),
又∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81957.png)
,b
n<b
n+1,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81959.png)
,
∴(-1)
n[1+(2n-1)a]<3
n①当n是奇数时,∵-[1+(2n-1)a]<3
n,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81960.png)
,n=1,3,5,7,…
令
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81961.png)
,
∴a>f(n)
max∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81962.png)
∴f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…,且f(1)=-4,
∴a>-4;…(7分)
②当n是偶数时,
∵1+(2n-1)a<3
n,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81963.png)
,n=2,4,6,8,…
令
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81964.png)
,
∴a<g(n)
min∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81965.png)
∴g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…,且
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81966.png)
,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81967.png)
;
综上可得:实数a的取值范围是
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81968.png)
.…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,a
n=n,又∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81969.png)
,
设对任意正整数k,都存在正整数p,q,使c
k=c
pc
q,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81970.png)
,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81971.png)
…(12分)
令q=k+1,则p=k(k+2012)(或q=2k,p=2k+2011)
∴c
k=c
k(k+2012)•c
k+1(或c
k=c
2k+2011•c
2k)…(16分)
分析:(Ⅰ)由已知利用a
n+1=S
n+1-S
n,代入整理化简得:a
n+1-a
n=2a(常数),可证
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a
n=1+2a(n-1),
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81957.png)
,结合b
n<b
n+1,可得(-1)
n[1+(2n-1)a]<3
n①当n是奇数②当n是偶数,结合数列的单调性及恒成立与最值的相互转换可求a的范围
(Ⅲ)由(Ⅰ)可得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81969.png)
,假设 满足c
k=c
pc
q,代入整理可得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/81971.png)
可求
点评:本题综合考查了由数列的和与项的递推公式证明等差数列,及利用数列的单调性求解数列的最大(最小)项的问题及恒成立与最值求解的相互转化.