Question

18．已知圆x²+y²-4x-8y+m=0．
（1）若圆C与直线x+2y-5=0相交于M、N两点，且CM⊥CN（C为圆心），求m的值；
（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）CM⊥CN（C为圆心），可得圆心到直线的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即可求m的值；
（2）过C与直线x+2y-5=0垂直的直线方程为2x-y=0，与直线x+2y-5=0交点为（1，2），即为圆心，求出半径，即可求以MN为直径的圆的方程．

解答 解：（1）圆x²+y²-4x-8y+m=0可化为圆（x-2）²+（y-4）²=20-m，
∵圆C与直线x+2y-5=0相交于M、N两点，且CM⊥CN（C为圆心），
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|2+8-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{20-m}$，
∴m=10；
（2）过C与直线x+2y-5=0垂直的直线方程为2x-y=0，与直线x+2y-5=0交点为（1，2），即为圆心，
∵|MN|=2$\sqrt{5}$，
∴以MN为直径的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．