Question

【题目】已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.

Answer 1

【答案】【解答】
证明：∵a＞2，∴a－1＞1.∴loga(a－1)＞0，log(a+1)a＞0，
由于

.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2.
∴ ，
即 .
∵log(a+1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【解析】本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小.(1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法.(2)在作商比较法中 是不正确的，这与a、b的符号有关，比如若b＞0，由 ，可得a＞b，但若b＜0，则由 得出的反而是a＜b，也就是说，在作商比较法中，要对a、b的符号作出判断，否则，结论将是错误的.对于此类问题，不外乎可分为含参数变量的和大小固定的两类，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测，进而给出一定的理性推理或证明过程.