Question

“五一”期间，甲乙两个商场分别开展促销活动．
（1）甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次．从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：

摸出的结果	获得奖金（单位：元）
4个白球或4个黑球	200
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球	20
2个黑球2个白球	10

记X为抽奖一次获得的奖金，求X的分布列和期望．
（2）乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次．其中，第n（n=1，2，3，…，10）次抽奖方法是：从编号为n的袋中（装有大小、形状相同的n个白球和n个黑球）摸出n个球，若该次摸出的n个球颜色都相同，则可获得奖金5×2^n-1元．各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和．若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）X的所有可能数值为为200，20，10，分别求出概率，由此能求出X的分布列和期望．
（2）记Y_n（n=1，2，3，…，10）为第n次抽奖获得的奖金，Y_n的取值为5×2^n-1，0，由E（X）＜E（Y），即在甲商场抽奖得奖金的期望值更高，故选甲商场．

解答： 解：（1）X的所有可能数值为为200，20，10，
P（X=200）=

1

35

，
P（X=20）=

C 3 4 C 1 4 + C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

35

，
P（X=10）=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

18

35

，
∴E（X）=

200

35

+

320

35

+

180

35

=20．
（2）记Y_n（n=1，2，3，…，10）为第n次抽奖获得的奖金，Y_n的取值为5×2^n-1，0，
且P（Y_n=5×2^n-1）=

2 C n n

C n 2n

=

2(n!)

2n(2n-1)(2n-2)…(n+1)

，
记a_n=

2(n!)

2n(2n-1)(2n-2)…(n+1)

，
下面用数学归纳法证明an≤

1

3n+1

，
①当n=1时，a1 =1≤1=

1

30

，命题成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，命题成立，即ak=

2(k!)

2k(2k-1)(2k-2)…(k+1)

≤

1

3k+1

，
则当n=k+1时，ak+1=

2[(k+1)!]

(2k+2)(2k+1)(2k)…(k+2)

=

(k+1)(k+1)

(2k+2)(2k+1)

•

2(k!)

2k(2k-1)…(k+1)

≤

k+1

2(2k+1)

•

1

3k-1

，
∵k∈Z，∴由k≥1，得4k+2≥3k+3，
∴

k+1

4k+2

≤

1

3

，
a_n+1≤

k+1

2(2k+1)

•

1

3n+1

≤

1

3

×

1

3k-1

=

1

3k

，
∴n=k+1时，命题成立，
综合①②，得an≤

1

3n+1

对一切n∈N^*，
∴E（Y_n）=5×2^n-1×a_n≤5×(

2

3

)n-1，n=1，2，3，…，10，
记Y为在乙商场抽奖获得的总奖金，则Y=Y₁+Y₂+…+Y₁₀，
∴E（Y）=E（Y₁）+E（Y₂）+E（Y₃）+…+E（Y₁₀）≤5[1+

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n]=5×

1-( 2 3 )10

1- 2 3

=15[1-（

2

3

）¹⁰]＜15
∴E（X）＜E（Y），即在甲商场抽奖得奖金的期望值更高，故选甲商场．

点评：本题考查统计中的概率及期望的计算，数列的放缩和求和知识，考查阅读理解能力，应用数学知识解决问题的能力，考查或然与必然的思想．