Question

已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x²+y²=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）设D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD²+DC²=AC²，
∴（x+2）²+y²+（x-1）²+y²=9，化为x²+y²+x-2=0 ①．
∵点D在椭圆E上，∴ ②．
联立①②得，消去y得3x²+4x-4=0，
又-2＜x＜2，解得．
代入椭圆方程解得．
∴S_△ADC==．
（2）设P（x₀，y₀），则直线PA的方程为，
代入椭圆的方程得到，
∵，∴，
化为．
此方程有一个实数根-2，设D（x₁，y₁），则，
代入直线PA的方程得，
∴，=．
∵k₁=λk₂，∴==，
∵-2＜x₀＜2，，
∴λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．
分析：（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S_△ADC=即可得出；
（2）设P（x₀，y₀），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k₁=λk₂，及反比例函数的单调性即可得出．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键．