【题目】已知函数f(x)=ex﹣e﹣x﹣2x.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=f(2x)﹣4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
(Ⅲ)已知1.4142< <1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).
【答案】解:(Ⅰ)由f(x)得f′(x)=ex+e﹣x﹣2 ,即f′(x)≥0,当且仅当ex=e﹣x即x=0时,f′(x)=0,
∴函数f(x)在R上为增函数.
(Ⅱ)g(x)=f(2x)﹣4bf(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(ex﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,
则g′(x)=2[e2x+e﹣2x﹣2b(ex+e﹣x)+(4b﹣2)]
=2[(ex+e﹣x)2﹣2b(ex+e﹣x)+(4b﹣4)]
=2(ex+e﹣x﹣2)(ex+e﹣x+2﹣2b).
①∵ex+e﹣x>2,ex+e﹣x+2>4,
∴当2b≤4,即b≤2时,g′(x)≥0,当且仅当x=0时取等号,
从而g(x)在R上为增函数,而g(0)=0,
∴x>0时,g(x)>0,符合题意.
②当b>2时,若x满足2<ex+e﹣x<2b﹣2即 ,得 ,此时,g′(x)<0,
又由g(0)=0知,当 时,g(x)<0,不符合题意.
综合①、②知,b≤2,得b的最大值为2.
(Ⅲ)∵1.4142< <1.4143,根据(Ⅱ)中g(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(ex﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,
为了凑配ln2,并利用 的近似值,故将ln 即 代入g(x)的解析式中,
得 .
当b=2时,由g(x)>0,得 ,
从而 ;
令 ,得 >2,当 时,
由g(x)<0,得 ,得 .
所以ln2的近似值为0.693
【解析】对第(Ⅰ)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的;
对第(Ⅱ)问,先验证g(0)=0,只需说明g(x)在[0+∞)上为增函数即可,从而问题转化为“判断g′(x)>0是否成立”的问题;
对第(Ⅲ)问,根据第(Ⅱ)问的结论,设法利用 的近似值,并寻求ln2,于是在b=2及b>2的情况下分别计算 ,最后可估计ln2的近似值.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.
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【题目】某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的时间y(小时) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出y关于x的线性回归方程;
(3)试预测加工10个零件需要多少时间.
参考公式:回归直线,
其中,
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【题目】设向量 =(λ+2,λ2﹣ cos2α), =(m, +sinαcosα),其中λ,m,α为实数.
(1)若α= ,求| |的最小值;
(2)若 =2 ,求 的取值范围.
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【题目】有次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟米,每分钟的用氧量为升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟米,每分钟用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升;
(1)将表示为的函数;
(2)若,求总用氧量的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,下列关于函数f(x)的命题:
x | ﹣1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
(1)函数y=f(x)是周期函数;
(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;
(3)如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
(4)当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点.
其中真命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】某市疾控中心流感监测结果显示,自年月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知位同学中有位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定感染同学为止;
方案乙:先任取个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止;若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测;
(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率;
(2)表示依方案甲所需化验次数,表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳.
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【题目】已知公差不为0的等差数列{an}中,a1=2,且a2+1,a4+1,a8+1成等比数列.
(1)求数列{an}通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn= ,求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整数n的值.
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