Question

一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问
（1）若轮船以每小时24公里的速度航行，求行驶100公里的费用总和．
（2）如果甲、乙两地相距100公里，求轮船从甲地航行到乙地的总费用的最小值，并求出此时轮船的航行速度．

Answer 1

分析：（1）若设轮船的速度为v，比例系数为k，（k＞0），则每小时的燃料费为kv³ ，由v=10，可得k=

3

500

；即总费用y=(

3v3

500

+96)×100×

1

v

，（v＞0）；把v=24代入计算即可；
（2）对y求导，得y′=

6

5

v-

9600

v2

；令y'=0，可得v=20；由导数的正、负可得函数y取得极小值（即最小值）时，v=20；

解答：解：（1）设轮船的速度为v，比例系数为k，（k＞0），则每小时的燃料费为kv³
因为，当v=10时，kv³=6；所以，k=

3

500

；
设总费用为y，则y=

3

5

v2+

9600

v

（v＞0）；
当v=24时，行驶100公里的费用总和为y=745.6（元）；
（2）对y求导，得y′=

6

5

v-

9600

v2

；
令y'=0，得v=20；
∴当0＜v＜20时，y'＜0，函数y单调递减；
当v＞20时，y'＞0，函数y单调递增；
所以，当v=20时，函数y取得极小值，即为最小值720元．
答：当轮船每小时行驶20公里时，从甲地航行到乙地的总费用最小，最小值为720元．

点评：本题考查了利用导数求函数最值的应用问题，本题的关键是根据题意，正确列出函数解析式，从而求得结果．