Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率等于

2

2

．直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=

1

4

x2化为x²=4y，可得p=2，进而得其焦点，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意可得b，再利用离心率计算公式e=

c

a

=

1- b2 a2

即可得出．
（2）假设存在直线l，使得点F（1，0）是△BMN的垂心．直线BF的斜率k=

1-0

0-1

=-1，从而直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用

NF

•

BM

=0，解得m的值即可．

解答：解：（1）由抛物线y=

1

4

x2化为x²=4y，∴

p

2

=

4

4

=1，得其焦点（0，1）．
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意可得b=1．
又e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

2

，解得a²=2．
∴椭圆C的方程为 

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）假设存在直线l，使得点F（1，0）是△BMN的垂心．
直线BF的斜率k=

1-0

0-1

=-1，从而直线l的斜率为1．
设直线的方程为y=x+m，
代入椭圆方程并整理，可得3x²+4mx+2m²-2=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
于是

NF

•

BM

=（1-x₂，-y₂）•（x₁，y₁-1）
=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂
=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m-m2
=-

2(2m2-2)

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m²=0，
解之得m=1或m=-

4

3

．
当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意．
当m=-

4

3

时，经检验知l和椭圆相交，符合题意．
所以，当且仅当直线l的方程为y=x-

4

3

时，点F是△BMN的垂心．

点评：熟练掌握椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、垂心的性质、向量垂直与数量积的关系等是解题的关键．