Question

已知函数f（x）=2sinx+1．
（1）设常数ω＞0，若y=f（ωx），在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围；
（2）当x∈[-

π

6

，

7π

3

]时，g（x）=f（x）+m恰有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用y=f（ωx），在区间[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，确定

- π 2 ≤- ωπ 2 2ωπ 3 ≤ π 2 ω＞0

，而后求ω的取值范围；
（2）当x∈[-

π

6

，

7π

3

]时，g（x）=f（x）+m恰有两个零点，求出sinx=-

m+1

2

，根据三角函数的有界性，求m的取值范围．

解答：解（1）-

π

2

≤x≤

2π

3

，ω＞0则-

ωπ

2

≤ωx≤

2ωπ

3

∴

- π 2 ≤- ωπ 2 2ωπ 3 ≤ π 2 ω＞0

故

ω≤1 ω≤ 3 4 ω＞0

∴ω的取值范围是（0，

3

4

）
解（2）令f（x）+m=0即有sinx=-

m+1

2

作出y=sinx，x∈[-

π

6

，

7π

3

]的图象
由图可知-

m+1

2

∈（-1，-

1

2

）∪（

3

2

，1）
m的取值范围是（-3，-

3

-1）∪（0，1）

点评：本题是中档题，考查正弦函数的单调性，不等式的解法，正弦函数的有界性，确定变量的范围，可见基本知识在解题中的应用，任何问题最终化为基本函数的性质来求解，这是一般规律．掌握好了基本知识，有利于学好数学．