Question

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m (m，m0)，点P的轨迹加上M、N两点构成曲线C.

求曲线C的方程并讨论曲线C的形状；

(2) 若，曲线C过点Q (2，0) 斜率为的直线与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR (O为坐标原点)的斜率为，求证 为定值；

(3) 在(2)的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）

若m=-1，则方程为，轨迹为圆；

若，方程为，轨迹为椭圆；

若，方程为，轨迹为双曲线

（2）

（3）

【解析】

试题分析：解：（1）由得点P的轨迹方程为：.

若m=-1，则方程为，轨迹为圆；

若，方程为，轨迹为椭圆；

若，方程为，轨迹为双曲线。          4分

（2）时，曲线C方程为，

设的方程为：，与曲线C方程联立得：，

设，则①，②，

可得，  ∴为定值。        7分

注：①可用点差法证明；②直接用得出结果的，本小题只给1分.

（3）由得代入①②得：③，④，

③式平方除以④式得：，

∵在上单调递增，∴，∴，可得 

又∵在y轴上的截距，∴=，

∴，此即为在y轴上的截距的变化范围。    10分

考点：直线与椭圆的位置关系

点评：解决的关键是根据直线与椭圆联立方程组来结合韦达定理来求解，属于中档题。