【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 (单位:千元)对年销售量 (单位: )和年利润 (单位:千元)的影响.对近年的年宣传费 和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 , .附:对于一组数据 , , , ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 , .
(1)根据散点图判断, 与 在哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据1小问的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润 与 的关系为 .根据2小问的结果回答下列问题:
①2年宣传费 时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②3年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
【答案】(1) 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程.(2).(3)①;②时,年利润的预报值最大
【解析】
(1)由散点图可以判断,适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型;
(2)令,先建立关于的线性回归方程,再求关于的回归方程;
(3)①由(2)计算时年销售量和年利润的预报值的值.
(3)②由(2)知,年利润 的预报值,可得年利润的最值.
(1)由散点图可以判断, 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程.
(2)令,先建立关于的线性回归方程,
由于,,
关于的线性回归方程为,
关于的回归方程为;
(3)①由小问知,当 时,年销售量 的预报值 ,
年利润 的预报值,
②根据小问的结果知,年利润 的预报值,
所以当 ,即 时, 取得最大值,故年宣传费为 千元时,年利润的预报值最大.
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【题目】如图,已知抛物线C顶点在坐标原点,焦点F在Y轴的非负半轴上,点是抛物线上的一点.
(1)求抛物线C的标准方程
(2)若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1,k2,且满足,当P,Q在C上运动时,△PQS的面积是否为定值?若是,求出△PQS的面积;若不是,请说明理由.
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【题目】每年3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作,某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时),并绘制出如右的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替,结果精确到个位);
(Ⅱ)由直方图可以认为,人的睡眠时间近似服从正态分布,其中近似地等于样本平均数,近似地等于样本方差,.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人,试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8)的人数.
附:.若随机变量服从正态分布,则,.
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【题目】设椭圆 ()的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于,两点,若椭圆的离心率为,的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆于点,,设弦,的中点分别为,证明:三点共线.
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【题目】如图1,在矩形中,,,点在线段上,且,现将沿折到的位置,连结,,如图2.
(1)若点在线段上,且,证明:;
(2)记平面与平面的交线为.若二面角为,求与平面所成角的正弦值.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中组小鼠给服甲离子溶液,组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于”,根据直方图得到的估计值为.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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