Question

设整数n≥4，在集合{1，2，3…，n}中，任取两个不同元素a，b（a＞b），记A_n为满足a+b能被2整除的取法种数．
（1）当n=6时，求A_n；
（2）求A_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中A_n为满足a+b能被2整除的取法种数，我们易列举出当n=6时，满足条件的所有取法总数，进而得到答案；
（2）我们分当n为奇数时，和n为偶数时，两种情况分别求出满足条件的取法总数，即可得到A_n的表达式．

解答：解：（1）当n=6时，集合{1，2，3，4，5，6}中
任取两个不同元素a，b（a＞b），其中a+b能被2整除的取法有
（1，3），（1，5），（2，4），（2，6），（3，5），（4，6）共6种
∴An=6
（2）当n为奇数时，集合{1，2，3…，n}中，共有

n+1

2

个奇数，

n-1

2

个偶数，
其中当a取奇数时，b也为奇数满足要求，此时共有

C

2 n+1 2

种取法
当a取偶数时，b也为偶数满足要求，此时共有

C

2 n-1 2

种取法
此时An=

C

2 n+1 2

+

C

2 n-1 2

=(

n-1

2

)2
当n为偶数时，集合{1，2，3…，n}中，共有

n

2

个奇数，

n

2

个偶数，
其中当a取奇数时，b也为奇数满足要求，此时共有

C

2 n 2

种取法
当a取偶数时，b也为偶数满足要求，此时共有

C

2 n 2

种取法
此时An=2•

C

2 n 2

=

n2-2n

4

故An=

( n-1 2 )2，n为奇数 n2-2n 4 ，n为偶数

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，分段函数解析式的求法，其中根据a+b能被2整除，得到a，b的奇偶性相同，进而分类讨论出当n为奇数时，和n为偶数时，A_n的表达式是解答本题的关键．