Question

20．如图所示，四面体P-ABC中，$∠APB=∠BPC=∠CPA=\frac{π}{2}$，PA=4，PB=2，$PC=\sqrt{5}$，则四面体P-ABC的外接球的表面积为25π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球．
∵PA=4，PB=2，$PC=\sqrt{5}$，
∴长方体的对角线长为5，
∴球直径为5，半径R=2.5，
因此，三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR²=4π×2.5²=25π
故答案为：25π．

点评 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．