Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=

1

3

．
（Ⅰ）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及三角形的内角和定理化简后，得到一个关于cosA的关系式，把cosA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根据余弦定理表示出cosA，让其等于

1

3

，然后把等式变为

2

3

bc=b2+c2-a2，利用基本不等式和a的值即可求出bc的最大值．

解答：解：（Ⅰ）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)
=

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)
=

1

2

(1+

1

3

)+(

2

9

-1)
=-

1

9

；
（Ⅱ）根据余弦定理可知：

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，
又∵a=

3

，即

2

3

bc≥2bc-3，
∴bc≤

9

4

．当且仅当b=c=

3

2

时，bc=

9

4

，
故bc的最大值是

9

4

．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及余弦定理化简求值，灵活运用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．